EL PROBLEMA DE LA IMPLICACIÓN

“Cuando nuestras mentes se fijan en la inferencia, parece natural tomar ‘implicación’ como la relación primitiva fundamental” (Bertand Russell)

“Una consecuencia lógica es una consecuencia necesaria y formal” (Alfred Tarski)

“Todos los teoremas de la matemática son implicaciones entre enunciados” (Peano)

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Implicación vs. Condicional

En lógica, la implicación es esencial, pues todo sistema lógico hace uso de este mecanismo. Su forma más simple es p→q (se lee “p implica q”), en donde p y q son proposiciones: el antecedente y el consecuente de la implicación, respectivamente. El significado natural de la implicación es que si p es verdadera entonces se infiere q, que es el resultado de la implicación. Si p es falsa, no se infiere nada.

• En la implicación, p y q están relacionados a nivel lógico; por eso, la implicación se denomina también “implicación lógica”.
  
  
• En la implicación, las proposiciones p y q pueden ser específicas o genéricas. Un ejemplo de implicación específica es: “Llueve” → “No salgo de casa”. Un ejemplo de implicación genérica es: “x es hombre” → ”x es mortal”.
  
  
• En los lenguajes de programación lógica (como Prolog), se utiliza la implicación en las reglas que definen la lógica de la inferencia o deducción.

El condicional es diferente de la implicación. El condicional tiene la forma “si p entonces q”, que también lo vamos a simbolizar como p→q. El condicional realiza la lógica de la decisión, mientras que la implicación realiza la lógica de la inferencia.

En los lenguajes de programación de tipo procedimental u operativo (como Basic, C, Pascal, etc.), el condicional realiza la “lógica de la decisión”, seleccionando el bloque de sentencias q si la condición p es verdadera. Es la estructura de control tradicional “If... Then...” (en su forma simple) y “If... Then... Else...” (en su forma completa).

En lógica proposicional se considera que p→q tiene un valor de verdad que depende de los valores de verdad de p y q. Su tabla de verdad (que proviene de Boole) es:

p	q	p→q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

Es decir, el condicional es siempre verdadero excepto cuando p es verdadera y q es falsa. Por lo tanto, la expresión de la lógica proposicional p→q es equivalente a ¬p∨q (no-p o q).

Esta interpretación del condicional se denomina “interpretación material” y al condicional se le denomina “implicación material” (o implicación débil) porque hace referencia a un nivel básico, material, superficial, frente a la “implicación lógica” (o implicación fuerte), que es de tipo superior. La implicación material usada en la lógica proposicional se denomina “implicación lógica proposicional”.

La obra de Russell y Whitehead “Principia Mathematica” está basada en la implicación material.

Algunas propiedades del condicional son:

1. Idempotencia.
   p → p (idempotencia)
   
   
2. Conmutativa.
   p → (q → r) ≡ q → (p → r)
   
   
3. Transitiva.
   (p → q) → (q → r) → (p → r)
   
   
4. Distributiva.
   (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

En el condicional, p y q no tienen por qué estar relacionados conceptualmente. Esta circunstancia permite construir enunciados verdaderos “chocantes”, con significados extraños, sin ninguna relación de significación entre antecedente y consecuente. Las sentencias siguientes son formalmente verdaderas, pese a no tener ningún sentido.

1. “Si el mundo es cuadrado, entonces 2+2=4” es una sentencia verdadera porque p (“el mundo es cuadrado”) es falsa y “2+2=4” es verdadera.
   
   
2. “Si el mundo es cuadrado, 2+2=5” es también verdadera porque p (“el mundo es cuadrado”) es falsa y q (“2+2 = 5”) es también falsa.

Con la implicación material se producen paradojas, pues por ejemplo, tenemos las tautologías siguientes:

1. F → p
   Una proposición falsa (F) implica materialmente cualquier proposición (verdadera o falsa).
   
   
2. p → V
   La verdad (V) es implicada materialmente por cualquier proposición (verdadera o falsa).
   
   
3. ¬p ≡ p→F
   La negación de una proposición p es equivalente a la implicación material de dicha proposición a la falsedad (F).
   
   
4. ¬p ≡ p→p
   La negación de una proposición p es equivalente a su auto-implicación material.
   
   
5. Otras tautologías.
   p→(q→p)
   ¬p → (p→q)
   (p→q)∨(q→p)

Cualquiera de estas tautologías dan lugar a paradojas cuando se interpretan extralógicamente, es decir cuando p y q son sentencias de un nivel semántico superior al propio esquema lógico. Por ejemplo, la forma p→(q→p) está representada en “Si 2+2=4, entonces si el mundo es cuadrado, 2+2=4”.


La implicación estricta de Clarence Irwin Lewis

Estos problemas han conducido a la necesidad de revisar la implicación material en su aspecto de lógica proposicional (no en su aspecto de lógica de la decisión) para que exista verdadera implicación. C.I. Lewis ofreció una solución con la llamada “implicación estricta”, en sustitución de la implicación material. Hay implicación estricta cuando, en un condicional, el consecuente se infiere del antecedente, lo que refleja el concepto natural de implicación: p implica estrictamente q si la verdad de p es inconsistente con la falsedad de q. Lewis la expresó simbólicamente así:

¬◇(p∧¬q) (no es posible que p y no-q)

El concepto de implicación estricta fue el motor que inspiró a Lewis para crear la lógica modal moderna. La primera formalización de la implicación estricta apareció en el libro de 1932 “Symbolic Logic” [1959], escrito en colaboración con C.H. Langford. En esta obra introduce el operador de posibilidad (◇) como un operador modal primitivo, y presenta varios sistemas axiomáticos (S1 a S5) de lógica modal que utilizan la implicación estricta. El que existan 5 sistemas axiomáticos se debe a que Lewis descubrió que su concepto de implicación estricta no era absoluto; que había cinco maneras de entender la relación entre antecedente y consecuente.

A pesar de todo, Lewis no consiguió eliminar por completo las paradojas, pues sostenía que no era posible eliminarlas. Por ejemplo: toda proposición necesaria está implicada estrictamente por cualquier otra proposición. Saul Kripke, mediante su “semántica de los mundos posibles”, también intentó eliminar las paradojas de la implicación, pero tampoco lo logró completamente.

La notación de Lewis del operador de posiblidad (◇) es todavía estándar, aunque normalmente se utiliza el operador dual: el operador de necesidad (□), que se utiliza como operador primitivo por dos razones:

1. Porque la implicación estricta se define más fácilmente: A implica estrictamente B se escribe como □(A→B) (es necesario que A implique B).
   
   
2. Porque el operador de posibilidad se puede definir mediante el de necesidad, y viceversa:
   
   ◇x ≡ ¬□¬x (es posible que x es equivalente a “no es necesario no-x”)
   
   □x ≡ ¬◇¬x (es necesario que x es equivalente a “es posible que no-x”)

Fue John Lemmon [1957], quien definió los sistemas axiomáticos de Lewis como extensiones de la lógica clásica mediante el operador de necesidad (□) y un conjunto de axiomas.


MENTAL, la Unión de Implicación y Condicional
MENTAL utiliza el mecanismo de implicación estricta mediante la primitiva “Condición”, que tiene la forma básica x→y (se lee “si x entonces y”), o bien y←x (se lee “y si x”), y cuya interpretación es operativa: si existe x, la expresión x→y se evalúa como y; si no existe se evalúa como la expresión nula (θ). Por lo tanto, se puede considerar una función que toma el valor y o θ, según que x exista o no. Puede o no haber relación entre antecedente (x) y consecuente (y); todo depende del especificador.

La primitiva “Condición” puede usarse de dos formas:

1. Como condición específica o particular, que implementa el condicional para realizar la lógica de la decisión. Por ejemplo,
   
   (a>3 → ((b° = 5) (x° = x+1)))
   
   
2. Como condición genérica (especificada mediante una expresión genérica (parametrizada o no), para realizar la lógica de la inferencia como la lógica de la necesidad, que se realiza de forma automática. Ejemplos:
   
   
   1. ⟨( x/hombre → x/mortal )⟩
pepe/hombre // automáticamente genera pepe/mortal
      
      
   2. ⟨( a>3 → a=3 )⟩
(a° = 7) // automáticamente, a toma el valor 3
a // ev. 3

La primitiva “Condición” de MENTAL puede ser simple o compuesta, es decir, ser de la forma x→y (si x existe, entonces y; en caso contrario θ, la expresión nula) o de la forma completa (z ←' x → y) (si x existe, entonces y; en caso contrario, z). Estas dos formas se pueden utilizar para la lógica de la decisión y la lógica de la inferencia.

Ejemplo de lógica de la decisión:

(b=0 ← a>3 →' b=5)

Ejemplo de lógica de inferencia:

⟨( (a° = 0) ←' (a° > 3) → (a° = 5) )⟩
(a° = 4) // ev. a=5
(a° = 2) // ev. a=0

En ambos tipos de lógica puede haber condiciones de orden superior, pudiéndose especificar toda clase de expresiones en el antecedente y en el consecuente.

En MENTAL no hay valores de verdad (verdadero, falso), hay evaluación de expresiones y valores existenciales: expresión existencial (α) y expresión nula (θ). Con MENTAL se pone de relieve que no tiene ningún sentido aplicar un valor de verdad a una condición o a una implicación lógica.

Con MENTAL no hay paradojas lógicas y no es necesario eliminarlas, pues se trata de un fenómeno superficial. Interpretadas a través de las primitivas, toman la forma de expresiones fractales. Desde lo profundo, desaparecen las paradojas.

Con MENTAL el problema de la implicación y de la dualidad “Implicación vs. Condicional” se clarifica y unifica:

• “Condición” se interpreta siempre como “Si... entonces...”.
  
  
• Implicación y condicional son formas que dependen de su utilización dentro de una expresión genérica o específica, respectivamente.
  
  
• Todo se fundamenta en las primitivas “Condición” y”Generalización”.
  
  
• La implicación es un caso particular de generalización de la condición.
  
  
• La implicación material puede llamarse “implicación superficial”.

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Adenda
Antecedentes históricos

• La tabla de verdad de la implicación material se denomina también “tabla filónica”, pues la implicación material ya fue conocida por Filón de Megara (siglo IV a.C.). Fue ampliamente utilizada por los estoicos y por algunos lógicos medievales. Luego cayó en el olvido, hasta que fue utilizada por Frege y Peirce.
  
  
• George Edward Moore, en su artículo de 1920 “External and Internal Relations” propuso el término “entailment” (vinculación) para referirse a una implicación lógica o fuerte, en oposición a la implicación material o débil empleada por Russell y Whitehead en Principia Mathemathica. Esta propuesta de Moore fue puramente conceptual y no llegó a formalizarla.
  
  
• Uno de los análisis y esfuerzos serios por definir el concepto de entailment se debe tal vez a Georg Henrik von Wright [1962], quien intentó definir este concepto en base a las nociones de demostrabilidad y posibilidad.
  
  
• Otro intento de formalizar el entailment se debe a Alan Ross Anderson y N.D. Belnap, quienes en 1966 en su “Cálculo Puro de Entailment” desarrollaron un sistema axiomático, logrando eliminar de los teoremas las fórmulas paradójicas de la implicación material.
  
  
• Utilizado el mismo concepto de implicación estricta, hubo otro intento de evitar las paradojas de la implicación material, debido a David Hilbert y Wilhelm Ackermann, quienes en su obra de 1928 “Elementos de Lógica Teórica” [1962] lograron eliminar los teoremas paradójicos mediante ciertos ajustes formales en los axiomas.

Bibliografía

• Bochenski, Joseph M. Historia de la Lógica Formal. Editorial Gredos, 1985.
  
  
• Castrillo Criado, Pilar. La estructura de los condicionales, la implicación material y sus alternativas. UNED (Universidad Nacional de Educación a Distancia), 1999.
  
  
• Ferrater Mora, José; Leblanc, Hugues. Lógica Matemática. Fondo de Cultura Económica, 1962.
  
  
• Hilbert, David; Ackermann, Wilhelm. Elementos de la Lógica Teórica. Tecnos. Madrid, 1962.
  
  
• Lemmon, John. New foundations for Lewis modal systems. Journal of Symbolic Logic, 22:176-186, 1957.
  
  
• Lemmon, John; Scott, Dana. An introduction to modal logic. Blackwell, 1977.
  
  
• Lewis, C.I.; Langford, C.H. Symbolic Logic. The Century Company, 1932 (2a. ed., Dover, 1959).
  
  
• Lewis, C.I. The Calculus of Strict Implication. Mind, vol. 23, no. 90, April 1914, pp. 240-247.
  
  
• Moore, Geoge Edward. External and Internal Relations. Proceedings of the Aristotelian Society. 1919-1920. London, pp. 291-295 y 301.
  
  
• Wright, Georg Henrik von. Logical Studies. Routledge and Kegan Paul, London, 1962.